Document Mathématiques 3ème Année Secondaire تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 4 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

wn= 1 −vn بين أنه من أجل كل عدد طبيعيn : Sn= n+ 1 + 8 3 [1 −(1 4) n+1 ] c احسب lim n→+∞[Snn ⁄ ] . ◄ حل

التمرين

A حسابu1 وu2 : u0+1 = 4u0 1 + u0 ⇒u1 = 4 ⇒u1 = 2 u1+1 = 4u1 1 + u1 ⇒u1 = 4 × 2 1 + 2 ⇒u1 = 8 البرهان بالتراجع أنه من أ جل كل عدد طبيعي n : 0 < un< 3 : • من أجلn= 0 لدينا : 0 < 1 < 3 ⇒0 < u0 < 3 ... (∗) الخاصية مح ق قة من أجل n= 0 • ن فرض أن 0 < un< 3 صحيحة ونثبت أن0 < un+1 < 3 : :لدينا un+1 = 4un 1 + un = 4un+ 4 −4 1 + un = 4(un+ 1) 1 + un − 1 + un = 4 − 1 + un :ولدينا 0 < un< 3 ⇒1 < 1 + un< 4 ⇒1 4 < 1 + un < 1 ⇒1 < 1 + un < 4 ⇒−4 < − 1 + un < −1 ⇒0 < 4 − 1 + un < 3 ⇒0 < un+1 < 3 ... (∗∗) حس ب البرهان بالتراجع من )∗( و )∗∗( نجد أن: 0 < un< 3 B تبيين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 4: vn+1 = un+1 −3 un+1 = 4un 1 + un−3 4un 1 + un = 4un−3 −3un 4un = un−3 4un = 1 4 (un−3 un ) = 1 4 vn :ولدينا v0 = u0 −3 u0 = 1 −3 = −2 ومنه (vn) متتالية هندسية أساسها وحدها الأول−2 كتابة (vn) بداللةn ثم استنتج (un) بدال لة n : vn= −2 (1 n :ولدينا vn= un−3 un ⇒vnun−un= −3 ⇒un(vn−1) = −3 ⇒un= −3 vn−1 ⇒un= 1 −vn ⇒un= 1 + 2 (1 n c حساب نهاية المتتالية (un) : lim n→+∞(un) = lim n→+∞(un= 1 + 2 (1 n) = 1 + 2(0) = 3 C ا اثب ت أنه من أجل كل عدد طبيعي n : wn= 1 −vn : wn= 3 un = 1 −vn = 3 × 1 −vn = 1 −vn تبيين أنه من أجل كل عدد طبيعي n ، Sn= n+ 1 + 3 [1 −( n+1 ] : Sn= w0 + w1 + ⋯+ wn = 1 −v0 + 1 −v1 + ⋯+ 1 −vn = 1(n+ 1) −(v0 + v1 + ⋯+ vn) = n+ 1 + 2 ( 1 −(1 n+1 1 −1 ) = n+ 1 + 2 ( 1 −(1 n+1 ) = n+ 1 + 8 3 (1 −(1 n+1 ) c حساب lim n→+∞[Snn ⁄ ] : lim n→+∞[Snn ⁄ ] = lim n→+∞ [ n+ 1 + 8 3 (1 −(1 n+1 ) n ] = lim n→+∞[1 + 1 n+ 8 3n(1 −(1 n+1 )] = 1 ◄ بالتوفيق في شهادة البكالوريا►