Document Mathématiques 3ème Année Secondaire تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 7 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

: • من أجلn= 0 :لدينا 2 ≤u0 ≤3 ⇒[3 2 ≤3 ≤3] ... (∗) • نفرض أن ( 2 ≤un≤3) ونثبت أن ( 2 ≤un+1 ≤3) : :لدينا 2 ≤un≤3 ⇒6 ≤4un≤12 ⇒1 12 ≤ 4un ≤1 ⇒3 4 ≤ 4un ≤3 ⇒−3 2 ≤−9 4un ≤−3 ⇒3 2 ≤3 −9 4un ≤9 ⇒3 2 ≤un+1 ≤9 ⇒[3 2 ≤un+1 ≤3] ... (∗) حسب مبدأ الاستدالل بالتراجع: من )∗( و )∗∗( نجد أن: 2 ≤un≤3 B دراسة اتجاه تغير (un) ، ثم استنت ا ج أنها متقاربة : un+1 −un= 3 −9 4un −un = 12un−9 −4(un)2 4un :لدينا4un> 0 ومنه إشارة الفرق من إشارة البسط 12un−9 −4(un)2 = 0 :ولدينا Δ = 122 −4(−4)(−9) = 0 :ومنه un= −12 2(−4) = 3 :ومنه 12un−9 −4(un)2 = 0 ⇒(un−3 2) = 0 ⇒un= 3 +∞ −∞ un − + un+1 −un ومنه (un) متناقصة ت ماما على المجال ] 2 ; 4[ - الاستنتاج : لدينا (un) متناقصة تم اما ] 2 ; 4[ ومحدو دة من الأسف ل ب 2 فهي متقاربة C a تب يين أن (vn) متتالية حسابية يُطلب تعيين أساسها وحدها ا ألول : vn+1 = 2un+1 −3 = 2 (3 −9 4un) −3 = 24un−18 −12un 4un = 8un 12un−18 = 4un 6un−9 = 2 3 ( 2un 2un−3) = 2 3 (2un−3 + 3 2un−3 ) = 2 3 (2un−3 2un−3 + 2un−3) = 2 3 (1 + 2un−3) = 2 3 + 2un−3 = 2 3 + vn :ولدينا v0 = 2u0 −3 = 2 ومنه (vn) متتالية حسابية أ ساسها وحدها الأول b كتابة vn بداللةn ثم استنت ج اun بداللةn : vn= 2 3 + 2 3 n⇒vn= 2 3 (n+ 1) ول دينا: vn= 2un−3 ⇒2vnun−3vn= 2 ⇒2vnun= 2 + 3vn ⇒un= 2 + 3vn 2vn ⇒un= 2 + 3 2 3 (n+ 1) 2 2 3 (n+ 1) ⇒un= 3 × 2(n+ 2) 4(n+ 1) ⇒un= 3(n+ 2) 2(n+ 1) c تعيين lim n→+∞(un) : lim n→+∞(un) = lim n→+∞(3(n+ 2) 2(n+ 1)) = lim n→+∞(3n 2n) = 3 D تعيين بداللة n المجموعSn : :لدينا vn= 2un−3 ⇒2unvn−3vn= 2 ⇒unvn= 2 + 3vn ⇒1 + 3 2 vn ومنه Sn= u0v0 + u1v1 + ⋯+ unvn = 1 + 3 2 v0 + 1 + 3 2 v1 + ⋯+ 1 + 3 2 vn = 1(n+ 1) + 3 2 (v0 + v1 + ⋯+ vn) = n+ 1 + 3 ( (2 3 (n+ 1) ⏟ vn + 2 3⏟ v0 ) n+ 1 ⏞ n−0+1 ) = (n+ 1) + 3 2 ((2 3 (n+ 2)) n+ 1 ) = (n+ 1) + (n+ 2)(n+ 1) = (n+ 1) (1 + n+ 2 ) = (n+ 1) (n+ 4 ) = 1 2 (n+ 1)(n+ 4) ◄ بالتوفيق في شهادة البكالوريا►