Document Mathématiques 3ème Année Secondaire تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 10 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

(vn) ثم استنتج عبارة (un) بداللةn . c احسب نهاية المتتالية (un) . E اكتب بداللةn المجموعSn :حيث Sn= vn+2021 + vn+2022 + ⋯+ v2n II) نضعu0 = 6 وα= 4 A برهن أنه من أجل كل عدد طبيعيn un> 3 . B (wn) المتتالية المعرفة علىN :كما يلي wn= un−3 a بين أن (wn) متتالية هندسية أساسها .، يطلب تعيين حدها الأول b اكتب عبارة (wn) بداللةn، ثم استنتج عبارة (un) بداللةn . c احسب نهاية المتتالية (un) . C اكتب بداللةn :ما يلي An= w0 + w1 + w2 + ⋯+ wn Bn= w0 2 + w1 2 + w2 2 + ⋯+ wn Cn= √w0 + √w1 + √w2 + ⋯+ √wn Dn= 1 w0 + 1 w1 + 1 w2 + ⋯+ 1 wn En= w0 + 2w1 + 4w2 + ⋯+ 2nwn Fn= w1 + w3 + w5 + ⋯+ w2n−1 Gn= 1 u0 + 1 u1 + 1 u2 + ⋯+ 1 Hn= w0 × w1 × w2 × ... × wn In= ln(w0) + ln(w1) + ln(w2) + ⋯+ ln(wn) III ) :ّنفرض أنu0 = α نضع من أجل كل عدد طبيعيn tn= un−(α−1) A بين أنه من أجل كل عدد طبيعيn : tn+1 = 1 αtn B اكتب عبارةun بداللةn وα ◄ حل

التمرين

I) A حسابu1 ، u2 وu3 u0+1 = αu0 u0 + 1 ⇒u1 = 1 + 1 ⇒u1 = 1 u1+1 = αu1 u1 + 1 ⇒u2 = 2 + 1 ⇒u2 = 1 u2+1 = αu2 u2 + 1 ⇒u3 = 3 + 1 ⇒u3 = 1 B البرهان بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي n ، un> 0 • من أجلn= 0 :لدينا u0 = 1 > 0 ... (∗) • نفرض أن [un> 0] ونثبت أن [un+1 > 0] :لدينا un+1 = un+ 1 = un+ 1 −1 un+ 1 = 1 − un+ 1 :ولدينا un> 0 ⇒un+ 1 > 1 ⇒ un+ 1 < 1 ⇒− un+ 1 > −1 ⇒1 − un+ 1 > 0 ⇒un+1 > 0 ... (∗∗) حسب مبدأ البرهان بالتراجع: من )∗( و )∗∗( نجد أن: (un> 0) C دراسة اتجاه تغير المتتالية (un) un+1 −un= un+ 1 −un = un−(un)2 −un un+ 1 = −(un)2 un+ 1 بما أنun> 0 فإنun+ 1 > 0 ومنه الإشارة من−(un)2 وعليه un+1 −un< 0 إذن (un) متناقصة تماما علىN . - استنتاج أن (un) :متقاربة بما أن المتتالية (un) متناقصة تماما علىN ومحدودة من الأسفل ب0 فهي متقاربة D a تبيين أن المتتالية (vn) حسابية :لدينا vn+1 = un+1 = un+ 1 = 1 + 1 :ولدينا v0 = 1 u0 = 1 ومنه المتتالية (vn) حسابية أساسها1 وحدها الأول1 . b كتابة بداللة n عبارة الحد العام للمتتالية (vn) vn= v0 + rn⇒vn= 1 + n - استنت ا ج عبارة (un) بداللةn : vn= 1 ⇒un= 1 vn ⇒un= 1 + n c حساب نهاية المتتالية (un) lim n→+∞(un) = lim n→+∞( n+ 1) = 0 E كتابة بداللة n المجموعSn Sn= vn+2021 + vn+2022 + ⋯+ v2n = 2n−n−2021 + 1 (1 + 2n ⏟ v2n + 1 + n+ 2021 ⏟ vn+2021 ) = (n−2020)(2n+ 2023) II) من أجل u0 = 6 وα= 4 :لدينا un+1 = 4un un+ 1 A برهان أنه من أجل كل عدد طبيعيn un> 3 • من أجلn= 0 :لدينا