Document Mathématiques 3ème Année Secondaire تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 3 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

vn= un−6 a اثبت أن (vn) متتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول. b اكتب عبارةvn بداللةn ثم استنتج عبا رة un بداللةn . c احسب نهاية المتتالية (un) . d عبر بداللة n عن المجموعين Sn وSn ′ :حيث Sn= v0 + v1 + ⋯+ vn Sn ′ = u0 + u1 + ⋯+ un e عبر بداللة n عن المجموع Qn :حيث Qn= v0 2 + v1 2 + ⋯+ vn f عبر بداللة n عن الجداء Pn :حيث Pn= v0 × v1 × ... × vn ◄ حل

التمرين

A a ث لتم ا يل البياني للدالة f وتمثيل الحدود u0 ، u1 ، u2 وu3 :دون حسابها b التخمين حول اتجاه ت غير (un) وتقاربها : من التمثيل البياني لديناu0 < u1 < u2 < u3 ، ومنه نستنتج أن المتتالية (un) متزا ة يد ، وتتقارب نحو نقطة تقاطع المنحني ( Cf) مع المستقيم (Δ) أي في ال نقطة ذات الفاصلة 6 c البرهان بالتراجع أن ه مهما كان n∈N : un≤6 : • من أجلn= 0 :لدينا u0 = 1 ≤6 ... (∗) • نفرض أن un≤6 ون ثبت صحية un+1 ≤6 : un≤6 ⇒2 3 un≤4 ⇒2 3 un+ 2 ≤6 ⇒un+1 ≤6 ... (∗∗) من )∗( و )∗∗( نجد أن: un≤6 d دراس ة اتجاه تغير المتتالية (un) : un+1 −un= 2 3 un+ 2 −un = −1 3 un+ 2 :لدينا −1 3 un+ 2 = 0 ⇒un= 6 :ومنه +∞ −∞ un − + un+1 −un لدينا من الجدول لما un≤6 تكون (un) متزايدة . وبما أن (un) محدودة من الأعلى ب العدد 6 .فهي متقاربة B a ا اثب ت أن (vn) متتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول : ل دينا: vn+1 = un+1 −6 = 2 3 un+ 2 −6 = 2 3 un−4 = 2 3 (un−6) = 2 3 vn :ولدينا v0 = u0 −6 = −5 ومنه (vn) متتالية هندسية أساسها 3 وحدها الأو ل −5 . b كتابة عبارة vn بداللةn و استنت ا ج عبارة un بداللةn : vn= −5 (2 3) n :لدينا vn= un−6 ⇒un= vn+ 6 ⇒un= 6 −5 (2 3) n c حساب نهاية المتتالية (un) : lim n→+∞[un] = lim n→+∞[6 −5 (2 3) n ] = 6 d التعبير بداللة n عن المجموعين Sn وSn ′ : Sn= v0 + v1 + ⋯+ vn = −5 ( 1 −(2 3) n+1 1 −2 ) = −5 ( 1 −(2 3) n+1 ) Sn= 15 ((2 3) n+1 −1) Sn ′ = u0 + u1 + ⋯+ un = v0 + 6 + v1 + 6 + ⋯+ vn+ 6 = 6(n+ 1) + v0 + v1 + ⋯+ vn ⏟ Sn ′ = 6(n+ 1) + 15 ((2 3) n+1 −1) e التعبير بداللة n عن المجموع Qn : Qn= v0 2 + v1 2 + ⋯+ vn = (−5)2 ( 1 −((2 3) ) n+1 1 −(2 3) ) = 25 ( 1 −(2 3) 2(n+1) ) Qn= 45 (1 −(2 3) 2(n+1) ) f التعبير بداللة n عن الجداء Pn : Pn= v0 × v1 × ... × vn = (−5) (2 3) × (−5) (2 3) × ... × (−5) (2 3) n = (−5)n+1 ((2 3) × (2 3) × ... × (2 3) n ) = (−5)n+1 ((2 3)