Document Mathématiques 3ème Année Secondaire تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 1 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

، ومن أجل كلn∈N∗ nwn= (n+ 1)wn−1 + 3 أ/ احسبw1 ، w2 ، w3 وw4 ، ما تخمينك لنوعية المتتالية (wn) . ب/ برهن صحة تخمينك على نوعية المتتالية (wn) . ج/ احسبw1011 . ◄ حل

التمرين

1) حساب u1 ، u2 وu3 • 3u0+1 = u0 + 4(0) + 4 ⇒3u1 = 3⏟ u0 + 4(0) + 4 ⇒3u1 = 7 ⇒u1 = 7 • 3u1+1 = u1 + 4(1) + 4 ⇒3u2 = 7 3 + 4(1) + 4 ⇒3u2 = 31 ⇒u2 = 31 • 3u2+1 = u2 + 4(2) + 4 ⇒3u3 = 31 9 + 4(2) + 4 ⇒3u3 = 139 ⇒u3 = 139 2) /أ بره ا ن أنه من اجل كل عدد ط بيعي n un> 0 :نبرهن القضية بالتراجع :لدينا u0 = 3 > 0 ومنه القضية صحيحة من أجلn= 0 نفرض أن un> 0 مُحققة ونبرهن أنun+1 > 0 un> 0 :ومنه un+ 4n+ 4 > 4n+ 4 :ولدينا 4n+ 4 > 0 :إذن un+1 > 0 . ب/ استنت ا ج أنه من أجل كل n∈N∗ un> 3 n 3un+1 = un+ 4n+ 4 :ومنه 3un= un−1 + 4(n−1) + 4 = un−1 + 4n ولدينا من أجل كلn∈N∗ un−1 > 0 :ومنه un−1 + 4n> 4n :ومنه 3un> 4n :اذن un> 3 n 3) /أ تبيين أن (vn) ُمتتالية هندسية ي طلب تعيين أساسها و حدها الأول vn+1 = un+1 −2(n+ 1) + 1 = un+1 −2n−1 :ومنه 3vn+1 = 3un+1 −6n−3 = un+ 4n+ 4 ⏟ 3un+1 −6n−3 = un−2n+ 1 = vn :ومنه vn+1 = 1 3 vn :ولدينا v0 = u0 ⏟ −2(0) + 1 ⇒v0 = 4 ومنه (vn) متتالية هندسية أساسهاq وحدها الأولv0 :حيث { v0 = 4 q= 1 :ومنه vn= 4 (1 3) n ب/ استنت ا ج أنه من أجل كل n∈N un= 4 ( 3) n + 2n−1 vn= un−2n+ 1 :ومنه un= vn+ 2n−1 :إذن un= 4 (1 3) n + 2n−1 مالحظة: يمكن استعمال البرهان بالتراجع /ج حساب بداللة n المجموعSn un= vn+ 2n−1 :ومنه Sn= u1 + u2 + ⋯+ un = v1 + 2(1) −1 + v2 + 2(2) −1 + ⋯+ vn+ 2n−1 = v1 + v2 + ⋯+ vn+ 2(1 + 2 + ⋯+ n) −1(n+ 1) = v1 1 −(1 3) n 1 −(1 3) ⏟ v1+v2+⋯+vn + 2 (n 2 (n+ 1) ⏟ ) 1+2+⋯+n −(n+ 1) = 4 1 −(1 3) n + n(n+ 1) −(n+ 1) = 6 (1 −(1 3) n ) + (n+ 1)(n−1) Sn= 6 (1 −(1 3) n ) + n2 −1 4) /أ حساب w1 ، w2 ، w3 وw4 1w1 = (1 + 1)w1−1 + 3 ⇒w1 = 2w0 + 3 ⇒w1 = 1 2w2 = (2 + 1)w2−1 + 3 ⇒w2 = 2w1 + 3 ⇒w2 = 6 3w3 = (3 + 1)w3−1 + 3 ⇒w3 = 2w2 + 3 ⇒w3 = 15 4w4 = (1 + 1)w4−1 + 3 ⇒w4 = 2w3 + 3 ⇒w4 = 28 من الحدود الأولى يمكن التخمين أن المتتالية (wn) حسابية أساسها2 وحدها الأولw0 = −1 :أي wn= −1 + 2n ب/ بره ا ن صحة التخمين على طبيعة المتتالية (wn) لتكن القضية (Pn) :حيث wn= −1 + 2n... (Pn) w0 = −2 + 2(0) = −1 ومنه (P0) .محققة نفرض أن (Pn)