Document Mathématiques 3ème Année Secondaire تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 8 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

. اثبت ان المتتالية متزايدة تماما علىN . c استنتج ان المتتالية متقاربة . C نعتبر المتتالية (vn) :المعرفة من أجل كل عدد طبيعي كما يلي vn= ln(un−1) a برهن أن المتتالية (vn) هندسية أساسها 1 2 ⁄ وعين حدها الأولv0 . اكتب عبارة (vn) بداللةn ، ثم استنتج عبارة بداللةn . c عين نهاي ة . d اكتب ب داللة n المجموعSn والجداءPn :حيث Sn= v0 + v1 + ⋯+ vn Pn= (u0 −1) × (u1 −1) × ... × (un−1) ◄ حل

التمرين

A a تمثيل على محور الفواصل الحدود u0 ، u1 ، u2 وu3 : وضع تخمينا حول اتجاه تغير المتتالية :وتقاربها يظهر لنا من تمثيل الحدود الأولى للمتتالية أنها متزايدة وتتقارب نحو القيمة2 . B a البرهان بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي n : 1 < un< 2 : • من أجلn= 0 :لدينا 1 < u0 < 2 ⇒1 < 5 4 < 2 ... (∗) • نفرض أن (1 < un< 2) ونثبت أن (1 < un+1 < 2) : :لدينا 1 < un< 2 ⇒0 < un−1 < 1 ⇒0 < √un−1 < 1 ⇒1 < 1 + √un−1 < 2 ⇒1 < f(un) < 2 ⇒1 < un+1 < 2 ... (∗∗) حسب مبدأ البرهان بالتراجع: من )∗( و )∗∗( نجد: 1 < un< 2 ا اثب ت ان المتتالية متزايدة تماما علىN : un+1 −un= 1 + √un−1 −un = (1 −un+ √un−1)(1 −un−√un−1) 1 −un−√un−1 = (1 −un)2 −(un−1) 1 −√un−1 −un = (un−1)2 −(un−1) 1 −√un−1 −un = (un−1)(un−1 −1) 1 −√un−1 −un = (un−1)(un−2) 1 −un−√un−1 = −(un−1)(un−2) un−1 + √un−1 :بما أن (1 < un< 2) لدي نا: un−1 ≥0 :ومنه (un−1 + √un−1) ≥0 إذن إشارة الفرق من إشارة البسط: −(un−1)(un−2) = 0 ⇒{ un−1 = 0 أو un−2 = 0 ⇒{ un= 1 أو un= 2 +∞ −∞ un − + − un+1 −un ذن متزايدة تماما علىN . c استنت ا ج ان المتتالية متقاربة بما أن المتتالية متز ايدة تماما ومح د ودة من الأعلى ب 2 فهي متقاربة C a بره ا ن أن المتتالية (vn) هندسية : :لدينا vn+1 = ln(un+1 −1) = ln(1 + √un−1 −1) = ln(√un−1) = ln ((un−1) 2) = 1 2 ln(un−1) = 1 2 vn :ولدينا v0 = ln(u0 −1) = ln (5 4 −1) = ln (1 4) = −ln 4 اذن (vn) مت تالية هندسية أساسها و حدها الأول v0 = −ln(4) كتابة عبارة (vn) و بداللةn : :لدينا vn= −ln(4) (1 2) n :ولدينا vn= ln(un−1) ⇒evn= un−1 ⇒un= evn+ 1 ⇒un= e−ln(4)(1 2) n + 1 ⇒un= 4−(1 2) n + 1 c ي عي ت ن نهاي ة : lim(un) = lim(4−(1 2) n + 1) = 1 + 1 = 2 ن: أل lim(−(1 2) n ) = 0 d كتابة بداللة n المجموعSn وا لجداء Pn : Sn= v0 + v1 + ⋯+ vn = −ln(4) ( 1 −(1 2) n 1 −1 ) = ln(4) ( (1 2) n −1 ) = 2 ln(4) ((1 2) n −1) = ln(16) ((1 2) n −1) Pn= (u0 −1) × (u1 −1) × ... × (un−1) = ev0 × ev1 × ... × evn = ev0+v1+⋯+vn = eSn = e ln(16)((1 2) n −1) = 16 ((1 2) n −1) ◄ بالتوفيق في شهادة البكالوريا►