Document Mathématiques 2ème Année Secondaire تمرين شامل في الدوال العددية مرفق بالحل للأستاذ عبد الحميد

x R−{1} :لدينا 2 + x−1 = 2(x−1) + 1 = 2x−2 + 1 = 2x−1 x−1 = f(x) الطريقة2 من أجل كل x R−{1} :لدينا f(x) = 2x−1 x−1 = 2x−2 + 1 = 2(x−1) + 1 = 2(x−1) + x−1 = 2 + :ومنه من أجل كل x منR−{1} لدينا : f(x) = 2 + ) دراسة اتجاه تغير الدالة على المجالين ] −∞ ; 1[ ]1 ; +∞[ من أجل كل x R−{1}لدينا : f(x) = 2 + لاحظ المخطط التالي ف نكتب f= uov= u[v(x)] حيثu(x) = 2 + 1 xوv(x) = x−1 بما أن - الد الة v متزايدة تماما على المجالين ]−∞ ; 1[ ]1 ; +∞[ لأن : v دالة تآلفية معاملها موجب من الشكل x⟼ax+ b حيثa> 0 - والدالةu متناقصة تماما على المجالين ]−∞ ; 0[ ]0 ; +∞[ لأن : u دالة مقلوب زائد عدد حقيقي من الشكل x⟼k+ 1 x حيثk∈R : معu(]−∞ ; 1[ ∪]1 ; +∞[) ⊂]−∞ ; 0[ ∪]0 ; +∞[ : فإن الدالة f= uov متناقصة تماما على المجالين ]−∞ ; 1[ ]1 ; +∞[ :مبرهنة v دالة رتيبة تماما على مجالI. u دالة رتيبة تماما على مجال J :حيثv[I] ⊂J - إذا كان للدالتين vو u نفس اتجاه التغير، تكون الدالة uov متزايدة تماما علىI. إذا كان اتجاها تغير الدالتينvو u متعاكسين، تكون الدالة uov متناقصة تماما علىI. ) شرح كيفية رسم المنحنى ،انطالقا من التمثيل البياني للدالة مقلوب لتكن F الدالة مقلوب المعرفة على R∗ : بX⟼F(X) = Y= 1 X ( CF)تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم ال متعامد المتجانس (O; i⃗; j⃗) من أجل كل x R−{1}لدينا : x⟼f(x) −2 = y−2 = :بوضع { X= x−1 Y= y−2 :حيثX∈R∗ :أي { x= X+ 1 y= Y+ 2 :حيثx∈ R−{1} :ينتجY= 1 X وX∈R∗ المنحنى البياني fهو صورة المنحنى البياني (CF) الممثل للدالة مقلوب X⟼1 X بالانسحاب الذي شعاعهV⃗⃗= i⃗+ 2j⃗ رسم المنحنى ) ن برهن أن النقطة Ω(1 ; 2) مركز تناظر للمنحنى :نعلم أن الدالة مقلوبX⟼F(X) = Y= 1 X هي دالة فردية من أجل كل x R∗ :لأن من أجل X منR∗ ومن أجل (−X) منR∗ F(−X) = 1 −X= −1 X= −F(X) :وبالتالي مبدأ المعلم O(0 ; 0)مركز تنا ظر ل لمنحنى البياني (CF) الممثل للدالة مقلوب في المستوي المنسوب إلى الم علم المتعامد المتجانس (O; i⃗; j⃗) :وبما أن المنح نى البياني هو صورة المنحنى البياني (CF) الممثل للدالة مقلوبX⟼1 X بالانسحاب الذي شعاعهV⃗⃗= i⃗+ 2j⃗ (نتيجة السؤال3 ). :فإن النقطةΩ(1 ; 2) مركز تناظر للمنحنى fفي المستوي المنسوب إلى المعلم ال متعامد المتجانس (O; i⃗; j⃗) :ملاحظة يمكن أن نتحقق أيضا من أجل x منR−{1} ومن أجل ( 2 −x) منR−{1} :أن f(2 −x) + f(x) = 4 f(2 −x) + f(x) = 2 + 2 −x−1 + 2 + x−1 = 4 − x−1 + x−1 = 4 النقطةΩ(1 ; 2) مركز تناظر للمنحنى f في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس (O; i⃗; j⃗) :تذكير ω(a ; b) مركز تناظر لمنحنى دالة :إذا كان من أجلx Df ( x−2a)منDf f(2a−x) + f(x) = 2b ) رسم-في نفس المعلم السابق- المنحنى (Cg) الممثل للدالةg(x) = |f(x)| نكتب عبارة الدالة g :دون رمز القيمة المطلقة حيث g(x) = {−f(x) ; f(x) ≤0 +f(x) ; f(x) ≥0 نبحث عن إشارة f(x) علىR−{1} :من جدول الإشارة أعلاه ينتج g(x) = { −f(x) ; x∈[1