Devoir Mathématiques 3ème Année Secondaire Sujet N°: 46

(Un) . وتقارب ها 2. برهن بالتراجع انه من اجل عدد طبيعيn −1 ≤Un≤0 3. ادرس اتجاه تغير المتتالية (Un) ، وبرر تقارب ها . III نعتبر المتتالية (Vn) المعرفة على N : كما يلي Vn= Un+1 برهن ان متتالية حسابية أساسها . يطلب تعيين حدها الأول اكتب عبارة كل منUn ثمVn بداللةn ثم احسبlim n→+∞Un احسب بداللة n المجموع Tn Tn= 2026 U0 + 1 + 2026 U1 + 1 + 2026 U2 + 1 + ⋯+ 2026 Un+ 1

التمرين الثاني

نعتبر المتتالية (Un) المعرفة على مجموعة الاعداد الطبيعيةN : بحدها العام حيثUn= e 2−n 1. بين ان (Un) . متتالية هندسية، يطلب تعببن أساسها وحدها الأول أحسبlim n→+∞Un ، ماذا تستنتج ؟ أحسب بداللةn المجموع Sn : حيثSn= U0 + U1 + U2 + ⋯+ Un نضع من أجل كل عدد طبيعيn : Vn= ln(Un) عبر عنVn ثم استنتج نوع المتتالية (Vn) أ) أحسب بداللةn العددPn : حيثPn= ln(U0 × U1 × U2 × ... × Un) ب) عين مجموعة قيم العدد الطبيعيn : بحيثPn+ 4n> 0 …بالتوفيق الإجابة النموذجية للواجب المنزلي رقم (3 ) في مادة الرياضيات المستوى: 3 ع ت الأستاذة : الإجابة التنقيط الإجابة التنقيط

التمرين الأول

I. x∈]−3; +∞[ ، f(x) = x−1 x+3 تعيين العددين الحقيقيين a وb بحيث من أجل كلx من المجال ]−3; +∞[ : فانf(x) = a+ b x+3 لدينا من أجل كلx من ]−3; +∞[ f(x) = x−1 x+ 3 = x−1 + 3 −3 x+ 3 = 1 + −4 x+ 3 ومنهb= −4 وa= 1 II { u0= α un+1= un−1 un+3 , n∈N تعيين قيمةα بحيث تكون المتتالية (un) : ثابتة (un) ثابتة معناه من اجل كل عدد طبيعيn un= un+1 : أي u0 = un= un+1 = α : بالتعويض في العالقة التراجعية نجد α−1 α+ 3 = α : ومنهα(α + 3) = α −1 : وبالتاليα2 + 2α+ 1 = 0 : أي ( α + 1)2 = 0 : اذن α= −1 : نضع فيما يلي α= 0 أ) تمثيل الحدود الأربعة الأولى للمتتالية (un) : ب) التخمين مثيل البيانبي للحدود الأولى للمتتالية (un) يبدو انها متناقصة تماما ومتقاربة نحو نقطة تقاطع ( و )∆(Cf) البرهان بالتراجع انه من اجل كل عدد طبيعي −1≤un≤0 : نضع الخاصيةp(n): −1 ≤un≤0  نتحقق من صحة الخاصية p(0) : لدينا u0 = 0 ومنه الخاصية p(0) . محققة  نفرض ان الخاصية p(n) صحيحة من اجل كل عدد طبيعي : أي−1 ≤un≤0  ونبرهن صحة الخاصية p(n+ 1) : أي نبرهن ان −1 ≤un+1 ≤0 : لدينا −1 ≤un≤0 بإضافة العدد3 الى اطراف المتباينة نجد 2 ≤un+ 3 ≤3 : بقلب اطراف المتباينة تصبح 3 ≤ un+3 ≤ بضرب اطراف المتباينة في العدد4 – : نجد −2 ≤ −4 un+3 ≤− بإضافة العدد1 : الى اطراف المتباينة نجد −1 ≤ −4 un+3 + 1 ≤− 3 + 1 : وبالتالي −1 ≤un+1 ≤− : أي−1 ≤un+1 ≤0 ومنه الخاصية p(n+ 1) . صحيحة اذن حسب مبدأ الاستدالل بالتراجع فانه من اجل كل عدد طبيعي −1 ≤un≤0 4. دراسة اتجاه تغير المتتالية (un) من اجل كل عدد طبيعي : لدينا un+1 −un= un−1 un+ 3 −un = un−1 −un 2 −3un un+ 3 = −un 2 −2un−1 un+ 3 = −(un+ 1)2 un+ 3 : ومنه un+1 −un≤0 :الن−(un+ 1)2 ≤0 وun+ 3 > 0 ومنه المتتالية (un)