Cours Mathématiques 2ème Année Secondaire ملخص محور الاشتقاقية رفقة تمارين للاستاذ عمارة عوادي

التقريبaالعدد المشتق عند العددf ′(a)وaقابلة للإشتقاق عند التآلفي للدالة عند يعطى f (a + h) ≈f ′(a)h + f (a) :بالعلاقة f (x) ≈f ′(a)(x −a) + f (a) :أو بالعلاقة :مشتقات بعض الدوال المألوفة مشتقات بعض الدوال المألوفة : الدالة الدالة المشتقة مجالات قابلية الإشتقاق a R ax + b a R xn nxn−1 R xn −n xn+1 R∗ √x 2√x ]0; +∞[ cos x −sin x R sin x cos x R :عمليات على الدوال المشتقة عمليات على الدوال المشتقة : الدالة الدالة المشتقة مجالات ق الإشتقاق ( f + g)(x) f ′(x) + g′(x) \ ( f × g)(x) f ′(x) × g(x) + f (x) × g′(x) \ (λ × g)(x) λ × f ′(x) \ ( f g ) (x) f ′(x) × g(x) + f (x) × g′(x) (g(x))2 g(x) ̸= 0 ( 1 f ) (x) −f ′(x) ( f (x))2 f (x) ̸= 0 :مشتقات بعض الدوال المركبة الامألوفة مشتقات بعض الدوال المركبة الامألوفة : الدالة الدالة المشتقة مجالات قابلية الإشتقاق f n n.f ′.f n−1 \ f n −n.f ′ f n+1 f (x) ̸= 0 √ f f ′ √ f f (x) > 0 cos(ax + b) −a. sin(ax + b) R sin(ax + b) a. cos(ax + b) R :تطبيقات الإشتقاقية تطبيقات الإشتقاقية : :إتجاه تغير دالة إتجاه تغير دالة : :مبرهنة دالتهاf ′وDfمعرفة و قابلة للإشتقاق على مجالfلتكن دالة المشتقة . موجبة تماما ) يمكن أنf ′(x) > 0إذا كانت1 (Dfمعدومة من أجل قيم منعزلة منf ′تكون .Dfمتزايدة تماما علىfفإن الدالةDfعلى المجال موجبة تماما ) يمكن أنf ′(x) < 0إذا كانت2 10من1صفحة …إذا توقفت عن المحاولة فستتوقف عن الإبداع ( علىDfمعدومة من أجل قيم منعزلة منf ′تكون .Dfمتناقصة تماما على المجالfفإن الدالةDfالمجال Dfمعدومة على المجالf ′(x) = 0إذا كانت3 .Dfثابتة على المجالfفإن الدالة :ملاحظة إما متزايدة تماما و إما متناقصة تماما على مجالfإذا كانت دالة .Dfرتيبة تماما على المجالfنقول أن الدالةDf :القيم الحدية المحلية القيم الحدية المحلية : :مبرهنة دالتهاf ′وDfمعرفة و قابلة للإشتقاق على مجالfلتكن دالة المشتقة . مغيرة إشارتهاDfمنaعند قيمةf ′إذا انعدمت الدالة المشتقة قيمةfتقبل فيهaيشملDfمحتوى فيIفإنه يوجد مجال مفتوح قيمة حدية محلية .f (a). تسمىf (a)حدية :حصر دالة حصر دالة : :نتائج [.a; b]معرفة و قابلة للإشتقاق على مجالfلتكن دالة [a; b]متزايدة تماما على المجالfإذا كانت الدالة1 :[a; b]من المجالxفإن من أجل كل عدد حقيقي f (a) ⩽f (x) ⩽f (b) [a; b]متناقصة تماما على المجالfإذا كانت الدالة2 :[a; b]من المجالxفإن من أجل كل عدد حقيقي f (b) ⩽f (x) ⩽f (a) F الوادي ولاية المختلطة بوشوشة ثانوية F الوادي ولاية المختلطة بوشوشة ثانوية F الأستاذ : عمارة عوادي :نقطة الإنعطاف نقطة الإنعطاف : :تعريف (Cf )وليكنaمن يشملIدالة قابلة للإشتقاق على المجالf ( عند النقطةCf )( مماس المنحنىT)وfالمنحنى البياني للدالة هي :A(a; f (a)). نقول أنّ النقطةaذات الفاصلة ( يخترق المنحنىT)( إذا كان المماسCf )نقطة إنعطاف للمنحنى (.Cf ) :مبرهنة aمن يشملIدالة قابلة للإشتقاق مرتين على المجالf مغيرة إشارتها فإنaعندf ′′• إذا إنعدمت المشتقة الثانية .A(a; f (a)) :يقبل نقطة إنعطاف هيfمنحنى الدالة :مبرهنة aمن يشملIدالة قابلة للإشتقاق على المجالf ولم تغيّر إشارتها فإنaعندf ′• إذا إنعدمت المشتقة الأولى .A(a; f (a)) :يقبل نقطة إنعطاف هيfمنحنى الدالة (مبرهنة القيم المتوسطة : )غير مكتملة مبرهنة القيم المتوسطة : )غير مكتملة ( :مبرهنة على مجالαتقبل حلا وحيداf (x) = 0لإثبات أن المعادلة [.a; b] .[a; b]رتيبة على المجالfنبين أن الدالة1