فرض الرياضيات · الفصل الثالث السنة الثالثة ثانوي الموضوع رقم 9

II ) المستوي ا (O; u⃗ , v )، A، Bو Cنقط من المستوي المركب لواحقها على الترتيب: zA= 6، zB= 3 + i√3، zC= 3 −i√3 A اكتب كلا zA، zBو zCعلى الشكل الأسي B نعتبر العد Lالذي يحقق: zA−zB= L(zA−zC)، اكتب Lعلى الشكل الجبري، ثم الأسي C استنتج طبي ABC III ) ليكن Sالتشابه المباشر ا C، نسبته √3وزاويته π A جد الكتابة S B عين zA′لاحقة النقطة A′صورة النقطة Aبالتشابه S C بين أن الن A، Bو A′في استقاميةيوم: 07ماي 2023 فرض ا الأستاذ: قويسم الخليلالشعبة: علوم تجريبية I) P(z)كثير الحدو zحيث: P(z) = z3 −12z2 + 48z−72 • تحقق أن 6هو جذر لكثير الحدود P(z)، ثم حل في Cالمعادلة P(z) = 0 II ) المستوي ا (O; u⃗ , v )، A، Bو Cنقط من المستوي المركب لواحقها على الترتيب: zA= 6، zB= 3 + i√3، zC= 3 −i√3 A اكتب كلا zA، zBو zCعلى الشكل الأسي B نعتبر العد Lالذي يحقق: zA−zB= L(zA−zC)، اكتب Lعلى الشكل الجبري، ثم الأسي C استنتج طبي ABC III ) ليكن Sالتشابه المباشر ا C، نسبته √3وزاويته π A جد الكتابة S B عين zA′لاحقة النقطة A′صورة النقطة Aبالتشابه S C بين أن الن A، Bو A′في استقامية يوم: 07ماي 2023المدة: 30دقيقة تصحي الأستاذ: قويسم الخليلالشعبة: علوم تجريبية I) • التحقق أ 6هو جذر لكثير الحدود P(z): P(6) = 63 −12(6)2 + 48(6) −72 = 0ومنه 6جذر ل P(z)• حل المعادلة P(z) = 0لدينا: 6جذر ل P(z) ، ومنه: P(z) = (z−6)(az2 + bz+ c)حيث: a، bو cأعداد حقيقة −72 −12 −36 −6 1ومنه: P(z) = (z−6)(z2 −6z+ 12)إذن: P(z) = 0 ⟹{ z−6 = 0أو z2 −6z+ 12 = 0 لدينا: (z−6 = 0)أي z= 6ولدينا: (z2 −6z+ 12 = 0)، باستعمال Δ:لدينا: Δ = −12 = (2√3i) 2، ومنه: { z= 6 + 2√3i = 3 + √3iأو z= 3 −√3i إذن مجموعة حلول ال P(z) = 0هي: s= {6; (3 + √3i); (3 −√3i)} II ) A كتابةكل zA، zBو zCعلى الشكل الأسي:• لدينا: zA= 6ei2π•نضع θBطويلة ل zBلدينا: { |zB| = 2√3 cos θB= 2√3 = √3 sin θB= √3 2√3 = 1 ⟹θB= π 6 + 2kπ ; k∈Zإذن: zB= 2√3eiπ 6لدينا: zC= zBومنه: zC= 2√3e−iπ B كتابة Lعلى الشكل الجبر zA−zB= L(zA−zC) ⟹L= zA−zB zA−zCومنه: L= 6 −3 −i√3 6 −3 + i√3 = 3 −i√3 3 + i√3 × 3 −i√3 3 −i√3 = 9 −3 −6√3i = 1 2 −i√3 2لدينا: |L| = |zA−zB zA−zC | = |1 2 −i√3 2 | = 1بفرض θLعمدة ل Lلدينا: { |L| = 1 cos θL= 1 sin θL= −√3 ⟹θ= −π 3 + 2kπ ; k∈Zإذن: L= e−iπ C استنتاج طبيعة المثلث ABC:لدينا: L= e−iπ 3 ⟹{ BA CA= 1 (BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −π 3 + 2kπ ; k∈Zومنه المثلث ABCمتقايس الأضلاع III ) A ايجادالكتابة المركبة للتشابه S: z′ −zC= √3eiπ 2(z−zC) ⟹z′ −zC= √3i(z−zC) ⟹z′ = √3iz−√3izC+ zC ⟹z′ = √3iz−3√3i−3 + 3 −√3i ⟹z′ = √3iz−4√3i B تعيين zA′لاحقة A′صورة Aبالتشابه S: zA′ = √3izA−4√3i⟹zA′ = √3i× 6 −4√3i ⟹zA′ = 2√3i C تبيينأن النقط A، Bو A′في استقامية: zA−zA′ zA−zB = 6 −2√3i 6 −3 −√3i = 6 −2√3i 3 −√3i = 2(3 −√3i) 3 −√3i = 2 ∈Rومنه: A′A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ إذنالنقط A، Bو