ملف الرياضيات السنة الثالثة ثانوي حل مفصل لتمرين الأعداد المركبة بكالوريا 2018 شعبة علوم تجريبية

. حل

التمرين

رقم 13 حل في مجموعة الأعداد المركبةC المعادلة ذات المجهولz :التالية z2 −√3z+ 1 = 0 ... (∗) نحسب المميز ∆: ( = ∆−√3) 2 −4 = 3 −4 = −1 = i2 ∆ = i2 :ومنه z1 = √3 −i = √3 2 −i1 z1 = √3 2 −i1 z2 = √3 + i = √3 2 + i1 z2 = √3 مجموعة حلول المعادلة(∗) : هي S= {(√3 2 −i1 2) ; (√3 2)} كتابةzA وzB على الشكل الأسي ثم تعيين قيم العدد الطبيعيn :بحيث يكون (zA zB n = 1 + i√3 كت ابة zA :على الشكل الأسي zA= 1 2 + i√3 |zA| = √(1 2) + (√3 2 ) = √1 4 + 3 4 = 1 |zA| = 1 لتكنθA عمدة العدد المركبzA :حيث { cosθA= 1 sinθA= √3 θA≡π 3 [2π] zA= eiπ كتابةzB :على الشكل الأسي zB= √3 |zB| = √(√3 2 ) + (1 2) = √3 4 + 1 4 = 1 |zB| = 1 لتكنθB عمدة العدد المركبzB :حيث { cosθB= √3 sinθB= 1 θB≡π 6 [2π] zB= eiπ تعيين قيم العدد الطبيعيn :بحيث يكون ( zA zB) n = 1+i√3 :لدينا (zA zB n = 1 + i√3 بالتعويض نكتب (eiπ eiπ n = 1 + i√3 (eiπ 3 × e−iπ 6) n = 1 + i√3 (eiπ 3−iπ 6) n = 1 + i√3 (eiπ 6) n = 1 + i√3 einπ 6 = 1 + i√3 :حيث 1 + i√3 = 1 2 + i√3 2 = zA= eiπ 3 = cosπ 3 + isinπ einπ 6 = cosπ 3 + isinπ cosnπ 6 + isinnπ 6 = cosπ 3 + isinπ nπ 6 = π 3 + 2kπ n 6 = 1 3 + 2k n= 2 + 12k ; (k∈Z) ) أ- التحقق أن zB zC= eiπ ي حدتو د طبيعة المثلث OBC التحقق أن zB zC= eiπ zB zC = zB zB = eiπ e−iπ = eiπ 6 × eiπ 6 = eiπ 6+iπ 6 = eiπ zB zC = eiπ تحديد طبيعة المثلثOBC :لدينا zB zC = eiπ 3 = zA :ونكتب zB−zO zC−zO = zA :حسب خواص الطويلة نكتب |zB−zO zC−zO | = |zA| |zB−zO| |zC−zO| = 1 |zB−zO| = |zC−zO| OB= OC...  :حسب خواص العمدة نكتب arg (zB−zO zC−zO ) = arg(zA) arg (zB−zO zC−zO ) ≡π 3 [2π] (OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡π 3 [2π] ...  من و : المثلث OBC .متقايس الأضلاع ب- استنتاج أنB هي صورةC بدورانr يطلب تعيي ن عناصره المميزة :لدينا zB−zO zC−zO = zA= eiπ zB−zO= eiπ 3(zC−zO) هذه الكتابة هي الصيغة المختصرة للدوران r ( :لأن |zA| = 1 الذي مركزه المبدأ Oو زاويته π :(لأنarg(zA) = π ) و يحول النقطة C إلى النقطة B . :نستنتج أن B هي صورةC بدورانr مركزه المبدأO وزاويته π . ) ي عي ت ن طبيعة المجموعة (γ) ي عي ت ثم ن صورتها بالدوران r: تعيين طبيعة المجموعة (γ) :لدينا |z| = |z−√3 + i | |z| = |z−(√3 2)| |z| = |z−zB| :حسب خواص الطويلة نكتب |z| = |z−zB| |z| = |z−zC| |z−zO| = |z−zC| ت ذكر أن: |z| = |z| و |z| = |z| و نكتب OM= CM المجموعة ( γ) هي محور القطعة [OC] . ن ي عي ت (γ′)