Devoir Mathématiques 3ème Année Secondaire Sujet N°: 27

بواقي القسمة الاقليدية للعدد7n على9 :عين بواقي القسمة الاقليدية للعدد (14292009 + 20081430) :سلم يوم19/01/2025 بالتوفيق ☺ تصحيح الواجب الأول للفصل الثاني

التمرين الا

ول (7 :)ن : لدينا 2973 a = و2023 b = و1444 c= : تعين بواقي القسمة الاقليدية لa b وc على4 a= 4× 743+ 1 a≡1[4] ومنه باقي القسمة الاقليدية ل 2973 على4 هو1 b= 4× 505+ 3 b≡3[4] ومنه باقي القسمة الاقليدية ل2023 على4 هو3 c= 4× 391+ 0 c≡0[4] ومنه باقي القسمة الاقليدية ل1444 على4 هو0 استن تاج أن a+b+c يقبل القسمة على4 :مما سبق لدينا a+ b+ c≡1+ 3+ 0[4] a+ b+ c≡4[4] :ومنه a+ b+ c≡0[4] بما أن باقي قسمةa + b+ c هو0 فانa + b+ c يقبل القسمة على 4 ال تحقق أن b≡−1[4] :لدينا b≡3[4] ومنه b≡3−4[4] :إذن b≡−1[4] )(و.ه.م استنتج أن : ab + ba + c ≡0[4] ab + ba + c ≡12023−12973 + 0[4] ab + ba + c ≡1 −1 + 0[4] :إذن ab + ba + c ≡0[4] ت عين قيم العدد الحقيقي n :بحيث يكون an+ 1962 ≡0[4] : لدينا a≡1[4] و1992≡2[4] 1n+ 2 ≡0[4] معناه أن n+ 2 ≡0[4] n+ 2 −2 ≡0 −2[4] n≡−2[4] n ≡2[4] إذن n= 4K+ 2 وعليه 4K+ 2 هيan+ 1962 ≡0[4] حتى يكونn ومنه قيمة n= 6K+ 5 وعليه 6K+ 5 هيan−bn≡0[6]: حتى يكونn ومنه قيمة

التمرين ال

ثالث (6 :)ن تعين تبعا لقيم العدد الطبيعيn بواقي القسمة الاقليدية ل7n : : لماn=0 70 = 1 , 70 ≡1[9] : لماn=1 71 = 7 , 71 ≡7[9] : لماn=2 72 = 4 , 72 ≡4[9] : لماn=3 73 = 343 , 73 ≡1[9] : القسمة دورية و دورها هو3k

التمرين ال

ثاني (7 :)ن :لدينا a≡1[6] b≡5[6] تعين بواقي القسمة الاقليدية ل : • a+ b≡6[6] a+ b≡0[6] ومنه باقي القسمة الاقليدية لa+b على6 هو0 • 3a−b≡3(1) −5[6] 3a−b≡−2[6] 3a−b≡4[6] ومنه باقي القسمة الاقليدية لb - 3a على6 هو4 • b2≡25[6] b2≡1[6] ومنه باقي القسمة الاقليدية لb2 على6 هو1 ) ال تحقق أن b≡−1[6] :لدينا b≡5[6] ومنه b≡5−6[6] :إذن b≡−1[6] )(و.ه.م استنتج أن : a1444 + b2023 ≡0[4] : لدينا وa≡1[6] b≡−1[6] :حسب خاصية الأس نجد a1444≡11444[6] b2023≡−12023[6] a1444 + b2023 ≡11444−12023[6] a1444 + b2023 ≡1 −1[6] :إذن a1444 + b2023 ≡0[6] بما أن باقي قسمةa1444 + b2023 هو0 فإنه يقبل القسمة على 6 . ) ت عين قيم العدد الحقيقي n :بحيث يكون an−bn≡0[6] 1n+ n≡0[6] 1 + n≡0[6] 1 + n−1 ≡0 −1[6] n≡5[6] 20081430≡11430[9] 20081430≡1[9] :إذن 14292009 + 20081430 ≡4 + 1[9] 14292009 + 20081430 ≡5[9] ومنه باقي القسمة الاقليدية ل14292009 + 20081430 هو5 . :جدول البواقي 3k+2 3k+1 3k n≡ 7n≡ وعليه بواقي قسمة7n هي على الترتيب1 مهما كان n∈N : تعين باقي القسمة الاقليدية للعدد 14292009 + 20081430 :أوال:نعين بواقي القسمة الاقليدية ل •1429= 158× 9+ 7 1429≡7[9] • 2009= 3k+ 2 2009≡2[9] • 2008= 223× 9+ 1 1429≡1[9] :ثانيا •14292009≡72009[9] • 14292009≡73k+2[9] :ومنه 73k+2≡4[9] وعليه حسب خاصية التعدي نجد : 14292009≡4[9]