Document Mathématiques 3ème Année Secondaire سلسلة تمارين المتتاليات العددية للأستاذ عمارة عوادي

( متتالية هندسية يكفي إثبات أن:Vn)لإثبات إن المتتالية Vn+1 Vn = q ( يدعى أساسnهو ثابت حقيقي )مستقل عنqحيث (.Vn)المتتالية الهندسية nبدلالةVnكتابة أو إيجاد عبارة الحد العام للمتتالية الهندسيةnبدلالةVnكتابة Vn = Vp × qn−p :(. تعطى بالعلاقةUn) (دليل الحد المعطى )معلومp :حيث (.Vn)أساس المتتالية الهندسيةq خاصية ثلاثة حدود متتابعة من متتالية هندسية ثلاثة حدود متتابعة من متتالية هندسيةcوb ، aإذا كانت )الوسط الهندسي(.b2 = a × c :فإن )مربع الحد الأوسط يساوي جداء الحدين الآخرين(. حساب مجموع حدود متتابعة من متتالية هندسية حساب مجموع حدود متتابعة من متتالية هندسية. Sn = Vp + Vp+1 + · · · · · · + Vn :يعطى بالعلاقة Sn = Vp 1 −q(1 −qn−p+1) دليل الحد الأول في المجموعp :حيث دليل الحد الأخير في المجموع.n .(Vn)أساس المتتالية الهندسيةq 10من1صفحة …إذا توقفت عن المحاولة فستتوقف عن الإبداع إثبات أن متتالية ليست حسابية وليست هندسية ( ليست حسابية وليست هندسية نتبعUn)لإثبات أن المتتالية الخطوات التالية: .U2وU1 ، U0نحسب الحدود1 فإن المتتاليةU2 −U1 ̸= U1 −U0 :إذا كان2 .( ليست حسابيةUn) (Un)فإن المتتاليةU2 U1 ̸= U1 U0 :إذا كان3 .ليست هندسية إتجاهتغيّرمتتاليةعددية :الحالة العامة (.Un)لدراسة إتجاه تغيّر متتالية .Un+1 −Unندرس إشارة الفرق (Un)فإنّ المتتاليةUn+1 −Un > 0 :إذا كان1 .Nمتزايدة تماما على (Un)فإنّ المتتاليةUn+1 −Un < 0 :إذا كان2 .Nمتناقصة تماما على (Un)فإنّ المتتاليةUn+1 −Un = 0 :إذا كان3 .Nثابتة على ( متزايدة تماما أو متناقصةUn)إذا كانت المتتالية4 .تماما نقول أنها رتيبة تماما :حالة خاصة ومن أجل كل عددU0( متتالية معرفة على بUn)إذاكانت عددانb( وa ̸= 1)حيثUn+1 = aUn + b :nطبيعي حقيقيان. (Un))سالب( فإن المتتاليةa < 0 :إذا كان1 .غير رتيبة )موجب( فإنّ إشارةa < 0 :إذا كان2 .(Un)تحدّد إتجاه تغيّرU1 −U0الفرق )موجب( فإنU1 −U0 > 0أ( إذا كان N( متزايدة تماما علىUn)المتتالية )سالب( فإنU1 −U0 < 0ب( إذا كان N( متناقصة تماما علىUn)المتتالية :تقارب متتالية ( متتالية عدديةUn)لتكن ( متتالية متزايدة و محدودة من الأعلىUn) .( فهي متقاربةUn < a) ( متتالية متناقصة و محدودة من الأسفلUn) .( فهي متقاربةUn > b) عدد حقيقيl،حيثlim n→+∞Un = lإذاكانت3 .فهي متقاربة قواعدخاصةبحسابنهايةمتتالية . lim n→+∞qn = +∞:ّفإنq > 1 :إذا كان1 . lim n→+∞qn = 0 :ّفإن−1 < q < 1 :إذا كان2 . lim n→+∞qn = 1 :ّفإنq = 1 :إذا كان3 .غير موجودةlim n→+∞qn :ّفإنq ⩽1 :إذا كان4 سؤال وجواب ( ثابتة.Un)السؤال: أوجد العدد الحقيقي حتى تكون المتتالية بالعددUn+1وUnكيفية الإجابة: نقوم بإستبدال كلا من ( نتحصل علىUn+1 = Un = α)في العلاقة التراجعية أيα نقوم بحل المعادلة للإيجاد قيمةαمعادلة للمجهول الحقيقي .αالعدد ( ثابتة.Un)حتى تكون المتتاليةU0السؤال: أوجد بالعددUn+1وUnكيفية الإجابة: نقوم بإستبدال كلا من ( نتحصلUn+1 = Un = U0)في العلاقة التراجعية أيU0 نقوم بحل المعادلة للإيجادU0على معادلة للمجهول الحقيقي .U0قيمة العدد 10من2صفحة تماريناتمقترحة الشكلالأول

:التمرين الأول

ومن أجلU0 = 6( المتتالية العددية المعرفة بUn). نعتبرI .Un+1 = 5 3Un −1 3 :nكل عدد طبيعي .U3وU2 ، U1( أحسب الحدود1 :n( برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي2 .Un ⩾1 ( المتتالية العددية المعرفة من أجل كل عددVn). لتكنII .Vn = Un −1 2 :كما يليnطبيعي ( متتالية هندسية يطلب تعيينVn)( بي ّن أنّ المتتالية1 .أساسها وحدها الأول .nبدلالةUn، ثم إستنتجnبدلالةVn( عبر عن2 Sn = V0 + V1 + · · · · · · + Vn :( نضع3 .S′ n = U0 + U1 + · · · · · · + Unو ، ثم إستنتج المجموعSnالمجموعn– أحسب بدلالة .nبدلالةS′ n

:التمرين الثاني

ومن أجل كلU0 = 1( المتتالية العددية المعرفة بUn)نعتبر