ملف الرياضيات السنة الثالثة ثانوي تمرين مع الحل في المتتاليات العددية 5 للاستاذ قويسم ابراهيم الخليل

تبيين أنه من أجل كلn∈N :فإن un≤4 : نستعمل البرهان بالتراجع: • من أجل n= 0 :لدينا u0 = 1 ≤4 ... (∗) الخاصية محققة من أجل n= 0 • نفرض أنun≤4 محققة ونثبت أنّun+1 ≤4 un≤4 ⇒2 3 un≤8 ⇒2 3 un+ 4 3 ≤4 ⇒un+1 ≤4 ... (∗∗) حسب مبدأ البرهان بالتراجع من : )∗( )∗∗( نجد أن un≤4 B دراسة اتجاه تغير المتتالية علىN un+1 −un= 2 3 un+ 4 3 −un = −1 3 un+ 4 :لدينا −1 3 un+ 4 3 = 0 ⇒un= 4 +∞ −∞ un − + un+1 −un ومنه لماun≤4 لدينا متزايدة تماما. C تبيين أن المتتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها ا ألول: :لدينا vn+1 = un+1 −4 = 2 3 un+ 4 3 −4 = 2 3 un−8 = 2 3 (un−4) = 2 3 vn :ولدينا v0 = u0 −4 = −3 ومنه متتالية هندسية أساسها وحدها الأولv0 = −3 . D كتابة كال من بداللةn : vn= −3 (2 3) n :ولدينا vn= un−4 ⇒un= vn+ 4 ⇒un= 4 −3 (2 3) n E حساب بداللة n المجموعSn Sn= u1+2 + ⋯+ un = v1 + 4 + v2 + 4 + ⋯+ vn+ 4 = 4n+ (v1 + v2 + ⋯+ vn) = 4n−3 (2 3) ( 1 −(2 3) n 1 −2 ) = 4n−2 ( 1 −(2 3) n ) = 4n−6 (1 −(2 3) n ) F a تبيين أن المتتالية متناقصة تماما علىN :لدينا wn+1 −wn= 5 ( vn+1 + 5 −1) −5 ( vn+ 5 −1) = 5 ( 5 −3 (2 3) n+1 ⏟ vn+1 −1 − 5 −3 (2 3) n ⏟ vn + 1 ) = 5 ( 5 −3 (2 3) n+1 − 5 −3 (2 3) n) لدينا: (2 3) n+1 < (2 3) n ⇒−3 (2 3) n+1 > −3 (2 3) n ⇒5 −3 (2 3) n+1 > 5 −3 (2 3) n ⇒ 5 −3 (2 3) n+1 < 5 −3 (2 3) n ⇒ 5 −3 (2 3) n+1 − 5 −3 (2 3) n< 0 ⇒5 ( 5 −3 (2 3) n+1 − 5 −3 (2 3) n) < 0 ⇒wn+1 −wn< 0 ومنه متناقصة تماما على N b حساب lim n→+∞[un−wn] lim n→+∞[un−wn] = lim n→+∞ [ 4 −3 (2 3) n ⏟ −5 ( −3 (2 3) n ⏟ + 5 −1 )] = 4 −5 (1 5 −1) = 8 ◄ بالتوفيق في شهادة البكالوريا►