فرض الرياضيات السنة الرابعة متوسط الموضوع رقم 42

.موضحاالخطواتpgcd ( 10120 ; 10705 +10912 +1030)احسب :نطبقخوارزميةإقليدس 10705 +10912 +1030 = 10120 × ( 10585 +10792) + 1030 10120 = 1030 ×1090 +0 إذن1030آخرباقٍغيرمعدومهو pgcd ( 10120 ; 10705 +10912 +1030) = 1030 )العددالطبيعيالذيله1030أكبرمنعددأرقام10120لأنعددأرقام1030 < 10120 .هوباقيالقسمةالأولى1030أكبرعددمنالأرقامهوالأكبر(إذن

:2التمرين

وردةبيضاء.يريدهذاالبائعتشكيل252وردةحمراءو324لدىبائعالأزهار باقاتمتماثلةتتكونكلباقةمنخمسةورودحمراءوثلاثةورودبيضاء. ماهوأكبرعددمنالباقاتيمكنللبائعتشكيلها ؟

مولانوظففيهالقاسمالمشتركالأكبرلأنعددالورودالحمراءو1هذاالتمرينمستوى

عددالبيضاءفيكلباقةمعلوم. الهدفمنههوتنبيهالتلميذإلىالتركيزقبلالخوضفيالحسابات،فوجودعبارة "أكبرما يمكن"لايعنيبالضروروةالق.م.أ. باقةعلىالأكثربالورود64إذنيمكنتشكيل324 = 5 × 64 + 4 :•لدينا الحمراء. باقةعلىالأكثربالورودالبيضاء.84إذنيمكنتشكيل252 = 3×84+0•و وبالتاليفإنأكبرعددمنالباقاتالمتماثلةالتييمكنأنيشكلهاالبائعهو باقة )نختارأصغرالعددينالسابقين(.64 جورباأيسرفإنهلايمكن84جورباأيمنو64يمكنشرحالفكرةبمثالآخر :لوكانلدينا زوججوارب.64تشكيلأكثرمن

:3التمرين

نريدتغطيتهاببلاطات4,8 mو8,4 m.قاعةمستطيلةالشكلبُعداها1 .مربعةالشكلمتماثلةوبدودتقطيع ماهيالقيمالممكنةلطولضلعالبلاطةالواحدة ؟− نريدتقطيعهاإلى0,96 mو1,44 m.صفيحةمستطيلةالشكلبُعداها2 .أقلعددممكنمنالمربعاتالمتماثلةوبدونضياع )أ(ماهوطولضلعالمربعالواحد ؟ )ب(ماهوعددالمربعاتالتينتحصلعليها ؟ نريدتغطيتها0,96 mو1,14 m.صفيحةمستطيلةالشكلبُعداها3 (بمستطيلاتمتماثلةطولهاضعفعرضها )عددطبيعيمنالسنتيمترات حسبالشكلالموالي. 0,96m 1,14m ... )أ(ماهيالقيمالممكنةلبُعدَي المستطيلالواحد ؟ )ب(ماهوعددالمستطيلاتاللازمة ؟ .4,8 m = 48 dmو8,4 m = 84 dm :.التحويل1 البلاطاتمربعةالشكلومتماثلةوبدونتقطيعإذنطولضلعالبلاطةالواحدة .48و84قاسملطولالبلاطةوقاسملعرضهاأيقاسممشتركللعددين القواسمالمشتركةلعددينطبيعيينهيقواسمقاسمهماالمشتركالأكبر. بخوارزميةإقليدس.pgcd(84;48)نحسب   84 = 48×1 + 36 48 = 36×1 + 12 36 = 12×3 + 0 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ⇒PGCD(84;48) = 12 12 = 1×12 = 2×6 = 3×4 .12و6؛4؛3؛2؛1 :هي12قواسم ؛4؛3؛2؛1 :إذنالقيمالممكنةلطولضلعالبلاطةالواحدة )بالدسيمتر(هي .12و6 .0,96 m = 96 cmو1,44 m = 144 cm :. )أ(التحويل2 يتمتقطيعالصفيحةإلىمربعاتمتماثلةوبدونضياعإذنطولضلعالمربع 144الواحدقاسملطولالصفيحةوقاسملعرضهاأيقاسممشتركللعددين .وبماأننانريدأقلعددمنالمربعاتفإنطولضلعالمربعالواحدأكبرما96و .48 cmأيpgcd(144;96)يمكنوبالتاليفهويساوي 1⁄2144 = 96×1 +48 96 = 48×2 + 0 ̄ ̄ ̄ ̄ ⇒PGCD(144;96) = 48 :1طريقة()ب S =144×96 = 13824 .13824cm2•مساحةالصفيحةهي s =48×48 = 2304 .2304cm2•مساحةالمربعالواحدهي S s = 13824 2304 = 6 .مربعات6إذننتحصلعلى :2طريقة 144÷48 = 3 .مربعات3•عددالمربعاتطولاهو 96÷48 = 2 .مربعات2•عددالمربعاتعرضاهو 3×2 = 6 .مربعات6إذننتحصلعلى .2x(.طولههوإذنcmعرضالمستطيلالواحد )بِx. )أ(نسمي3 (عددالمستطيلاتاللازمةأفقيا )السطرينالأولوالأخيرمنالشكلnإذاكان عددالمستطيلاتاللازمةعموديا )باستثناءالمستطيلاتالتيتمعدهاmو أفقيا(فإن : .nx = 57أيnx = 114÷2منهn ×2x = 114 • (m +1)×2x = 96منهm ×2x +2x = 96منهm ×2x = 96−2x • .(m +1)x = 48أي (m +1)x = 96÷2منه قاسملِxوبالتالي48و57قاسممشتركللعددينxنستنتجإذنأن .نحسبهبخوارزميةإقليدس.pgcd(57;48)    57 = 48×1 + 9 48 = 9×5 + 3 9 = 3×3 + 0 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ⇒PGCD(57;48) = 3 .x = 3أوx = 1إذن3و1هي3قواسم نستنتجأنالقيمالممكنةلبُعدَيالمستطيلالواحدهي : .3 cm×6 cmأو1 cm×2 cm طريقةأخرى:إذاقسمناكلمستطيلإلىجزأينمتماثلين،سنحصلعلىمربعاتمتماثلة 96و114يقسمكلامن2xوعددهازوجيطولاوعرضاوبالتاليxطولضلعكلمنها .ثمنواصلبنفسالطريقة48و57قاسممشتركللعددينxمنه (x = 1)الحالة1 cm×2 cm)ب( •الحالةالأولى :مستطيلات S =114×96 = 10944 .10944cm2مساحةالصفيحةهي s =1×2 = 2 .2cm2مساحةالمستطيلالواحدهي S s = 10944 = 5472 .مستطيلا5472إذنيلزمنا .(m +1)x = 48وnx = 57طريقةأخرى :وجدناسابقاأن .m = 47وn = 57أيm +1 = 48وn = 57فإنx = 1منأجل مستطيلا.114فيالسطرالسفليبمجموع57مستطيلافيالسطرالعلويو57يلزما−

114مستطيلاعرضاو47فيالجزءالمتبقي )بدونالسطرينالعلويوالسفلي(،يلزمنا−

.مستطيلا47×114 = 5358مستطيلاطولاوبالتالييلزمنا مستطيلا.5472أي5358+114المجموع− (x = 3)الحالة3 cm×6 cm•الحالةالثانية :مستطيلات S =114×96 = 10944 .10944cm2مساحةالصفيحةهي s =3×6 = 18 .18cm2مساحةالمستطيلالواحدهي S s = 10944 = 608 .مستطيلات608إذنتلزمنا .(m +1)x = 48وnx = 57طريقةأخرى :وجدناسابقاأن .m = 15وn = 19أيm +1 = 16وn = 19فإنx = 3منأجل مستطيلا.38فيالسطرالسفليبمجموع19مستطيلافيالسطرالعلويو19يلزما−

38مستطيلاعرضاو15فيالجزءالمتبقي )بدونالسطرينالعلويوالسفلي(،يلزمنا−

.مستطيلا15×38 = 570مستطيلاطولاوبالتالييلزمنا مستطيلات.608أي570+38المجموع− ŧōƓńŏľƯŠŒż ĽŤő Ļǁ ŧōƓńŏľƯŠŒż ĽŤő Ļǁالأستاذ1 žɢ ļȿĻɩń